為什麼會有0的存在？

陳真
2026.07.11.

今天帶小可愛去看眼科。候診時，她突然急切地問我，為什麼會有0的存在？0就是什麼也沒有，怎麼還能存在？什麼都沒有要怎麼想像？沒有就是沒有，既然什麼東西也沒有，要怎麼想像它的存在？

我問她，誰教妳的？學校會教這些？她說沒有人教，是她自己感到困惑。

我聽了，心裡一則以喜，一則以憂。喜的是這說明她腦袋還沒被毀，憂的是對這些虛無縹緲的問題感到困惑，似乎也不是什麼好事。

我跟她說，妳問的是很大的問題，數學哲學就是在談這些，把拔幾十年來每天腦子裡就是在想這些問題，但我始終沒有想通。

不過，首先呢，妳得搞清楚妳的困惑或問題到底是什麼？如果妳是要問0的本質與數學定位，那比較好解釋。

人類千百年來都沒法接受虛無的存在，既然虛無了，哪來存在？但是印度人很聰明，讓0由邏輯上的非法之物，成為一個實存，佔據了 "概念空間"，而且是可以運算的東西。

小可愛說，基督教說世界是上帝創造，在創造之前，什麼也沒有，如果什麼也沒有，那就是0，0就是空無一物，怎麼還會有上帝？

我說，妳越說越難了。妳的問題讓我想到我最喜歡的一位數學與邏輯學家，叫做哥德爾（Kurt Friedrich Gödel）。他提出一個在數學、邏輯與哲學上都非常重要的定理，叫做不完全定理，指出任何形式系統（例如數學或邏輯）無法逾越的侷限性。

簡單說，再怎麼邏輯完美的系統都不可能同時具有一致性與完備性。任何具有一致性的系統必定存在一些無法證明的陳述。或者是，這個系統必然無法證明自身的一致性，你只能從系統外部來尋找證明。

我沒法跟小可愛充分解釋這個定理，只能用最簡單的一些例子來說明。

我說，今天老師上課點名，點到陳真小朋友。我趕緊舉手回應。為什麼？因為我知道我就是陳真。

我問小可愛說，我應該先去照鏡子，確定我是陳真，然後才舉手回應老師嗎？

小可愛笑了。我問她，為什麼我不需要去照鏡子或尋找更多證據來證明我就是陳真呢？是不是很奇妙？我居然不假思索就能確定我是陳真，但我事實上卻無法證明。

"我" 這個東西就是很奇怪。它是我所知道的一切的根本，但我卻無法證明我就是 "我"，我甚至不知道 "我" 到底在哪裡，或是 "我" 到底意味著什麼？

叔本華曾經說，世界不存在，直到有個眼睛張開了，世界才誕生，哪怕只是一隻昆蟲的眼睛。維根斯坦說，這個眼睛超級無敵厲害，它能看見世上一切，卻有個東西永遠無法直接看見，那就是眼睛自己。

這就好像一台超級吸塵器，可以吸進一切萬物，但有個東西它肯定吸不進去，那就是它自己。

當人家問我是不是陳真，我不需要先跑去照鏡子，卻能知道我就是陳真，是不是很神奇？我哪來這樣的自信？我有沒有可能搞錯了？

我跟小可愛說，維根斯坦和他的一位老師（G.E.Moore）就曾討論過類似的問題：我為什麼知道這是我的手？

維根斯坦說，我其實並不 "知道" 這就是我的手，因為我根本沒法證明這就是我的手，我只是接受或相信這是我的手罷了，畢竟我沒有理由懷疑這不是我的手。如果不是我的手，它幹嘛黏在我身上，老是跟著我？

我誇張地問我的手，你是我的手嗎？怎麼一直黏著我啦？小可愛哈哈笑。

我說，數學或邏輯也一樣，我們明明知道某個命題一定是對的，但我們卻啞口無言，無計可施，根本沒法證明。若要證明它為真，我就只能跑到系統的外面來。這就好像那個可以看見世界的眼睛，它只能從世界外面看世上一切，而眼睛自身卻不可能成為世界的一部分。

我又給小可愛舉了個維根斯坦的例子。我說，有一天我跌倒受傷了，我喊說 "好痛"。這時候，我需要環顧四周，尋找看看到底是誰在痛嗎？嗯，周圍沒人，果然是我在痛。

小可愛又笑了。我說，不需要到處找對不對？ 我毫無疑問知道當然就是 "我" 在痛。問題是，我哪來這樣的自信？我怎麼知道正在痛的那個人就是我？而 "我" 到底在哪裡呢？

小可愛知道羅素，因為我常跟她說把拔一直在研究ㄧ加一等於二。我說，羅素寫了一本兩千頁的書叫做 "數學原理"，羅素花了三、四百頁的篇幅證明了一加一等於二。

羅素企圖將數學完全建立在邏輯的基礎上，面對邏輯系統的侷限性，羅素努力提出一些理論來解決這個困境。

但是，有一天，劍橋來了一個奇怪的學生，叫做維根斯坦，相對於羅素厚達兩千頁的 "數學原理"，維根斯坦卻一邊打仗，一邊在戰場上寫了一本僅僅兩萬字的小書，叫做Tractatus，指出羅素的錯誤。

范（光棣）爺爺第一次跟我碰面，就是在維根斯坦所屬的劍橋三一學院宿舍。范爺爺很訝異我之前是念醫學，怎麼可能無師自通，竟然能看懂早期維根斯坦這本奇書--Tractatus。

我跟范爺爺說，因為我跟維根斯坦呼吸同樣的空氣，所以理解他的想法一點困難也沒有。

維根斯坦在Tractatus中指出羅素的錯誤，說明 "邏輯總是能照顧它自己"，一切額外的理論只是自說自話，多此一舉。

我還跟她講了一個關於我最喜歡的數學與邏輯學家哥德爾的悲劇。

我說，哥德爾家境富裕，數學與邏輯方面的成就（尤其是不完全定理），讓他聞名於世，但他個性低調，帶點孤獨，不是那種熱衷名利的人。

有一天，哥德爾認識一個女孩，非常喜歡，但是整個家族及親戚朋友全都反對，因為那個女生的工作是在夜總會跳大腿舞，露大腿露屁股給大家看，在世俗的眼光中很低俗，而且講起話來毫無修飾，無知無識，缺乏文化，相當粗俗，全然不見容於哥德爾充滿菁英的生活圈，淪為眾人笑柄。

但是哥德爾不顧家人反對，堅持迎娶這個比自己大七歲、離過婚、沒受過多少教育的夜總會歌舞女郎。

儘管外界眼光不友善，對他太太充滿鄙夷，但是哥德爾夫妻倆卻過著幸福甜蜜的生活，原本孤獨憂鬱的哥德爾終於能感受生活的快樂。

不幸的是，哥德爾晚年出現被害妄想症狀（我猜可能是失智症），一直懷疑別人會下毒害他，只肯吃太太煮的菜。

可是有一天，太太重病入院半年，這段期間太太無法幫他做飯，哥德爾拒絕吃其他任何東西，幾個月後瘦成皮包骨而過世。後人遵照其遺言，讓夫妻倆合葬。

我跟小可愛說，妳要記住，別人喜歡妳不一定是喜歡妳這個人，有可能只是喜歡妳的外貌身材，或是喜歡妳的才華或財富，這些都不是真的喜歡，唯有喜歡妳這個人的個性本身，那才是真正的喜歡。

我跟她說，把拔一直很排斥成為公眾人物或是成為什麼名人，因為那些什麼名氣地位全都是假的，空的，吵吵鬧鬧沒有意義。平平實實的生活和知心朋友，才是最美好。

話還沒講完，就輪到小可愛看診了。